Kompleksiniai skaičiai. Integralai


Integravimas keiciant kintamaji. Tiesioginis integravimas. Kompleksiniu skaiciu integravimas. Netiesioginis integralas su begaliniais reziais. Geometrinis apibrėžtinio integralo taikymas. Integravimas keiciant kintamaji pavyzdziai. Geometrinis apibrėžtinio integralo taikymas.. Vidurines reiksmes teorema. Apibreztinis integralas. Funkcijos skaidymas elementariosiomis.

Matematikos Špera. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimai. Kompleksinė plokštuma. Algebriniai veiksmai sukompl. Skaič. Kompl. Skaič. Trigonometrinė išraiška ir jos naudojimas atliiekant daugyba dalyba ir keliant laipsniu. Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus. Komplekx. Skaič. Rodyklinė formulė. Kompleksinio kintamojo f-jos sąvoka. Tiesinė kompleksinio kintamojo f-ja. Kai kurios elementariosios kompl. Kintamojo funkcijos. Nepibrėžtinio integralo lentelės. Pirmykste funkcija ir neapibr. Integralas. Apibrėžimas. Tiesioginis integravimo metodas. Integravimas keiciant kintamajį. Integravimas dalimis metodas. Kvadratinio dvinario, pakelto n-tuoju laipsniu integravimas. Kvadratinių trinarių integravimas. Paprasčiausų trupmenų integravimas. Kvadratinių dvinarių integravimas. Racionaliūjų trupmenų integravimas. Rac. Trupmenu skaidymas. Rac. Trup. Integravimas. Iracionaliųjų funkcijų integravimas. Trigonometrinių funkcijų integravimas. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas ir jo geometrinė prasmė. Jo savybės. Vidurinės reikšmės teoremos. Apibrėžtinis integralas su kintamu višutiniu rėžiu. Niutono ir leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas keičiant kintamajį. Integralas su simetriniais rėžiais. Integravimas dalimis. Integralai. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais konvergavimo požymiai. Apibrėžtinis integralas su begaliniais rėžiais. Trukiuju funkcijunetiesioginiai integralai. Kūnų turio skaičiavimas. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje. Lanko ilgio skaiciavimas. Ploto ir lanko ilgio skaiciavimas polinėje koord. Sistemoje. Apibrėžtinio integralo taikymo schema.


1.ap. Kompleksiniu skaičiumi vadinamas reiškinys z(x(yi; čia x,y – realieji skaičiai, I-menamasis vienetas, turįs savybę i2(-1.x(Re(z)(Rez, y(Im(z)(Imz

Visa kompleksinė aibė žymima C. C({x(yi(x,y(R}.Vienas kompleksinis skaičius atitinka taška ir atvirkščiai. Viskas kas tinka kompleksiniams skaičiams tinka ir realiems.Vaizdavimo būdas vektoriai. (z((((x2(y2) Kompleksinio sk. Modulių vadiname kvadratų šaknis realios dalies kvadrato plius menamosios dalies kvadrato. Komp. Skaič. Argumentas sudarantis kampą p(argz, kurį sudaro komp. skaič.vaizduojantis vektorius su realiųjų skaič. ašimi. Matuojamas laipsniais , radijanais. Kopm. skaič.sudaro be galo daug argumento reikšmių, kuris skiriasi per 2(. (([0; 2], (([-(; (] Reali dalis z yra visada lygi: x(Rez((z((cos( , y(Imz((z(sin( Du komp. skaič.vadinami jungaisiais jeigu jų realios dalys sutampa, menamosios skiriasi tik ženklu. z(x-iy , z(x+iy Du komp. skaič.z1(x1+iy1 ir z2(x2+iy2I vadinami lygiais tada ir tik tada, kai Rez1( Rez2 ir Imz1(Imz2. Taigi z1(z2 ( x1(x2 (y1(y2

Dalybaz=z1/z2=(z1((cos(1+isin(1)/ (z2(( cos(2+isin(2) ( ( cos(2-isin(2)/ ( cos(2-isin(2)= (z1( (cos(1(cos(2- cos(1isin(2+

z=z1n=[(z1((cos(1+sin(1)]n=(z1(n((cos(1+sin(1)n;z12=(z1(2(cos2(1+2isin(1cos(1+ (isin()2) =(cos2(1-sin2(1+ i2sin(1cos(1) =(z1(2((cos2(1+isin2(1); z13=z12+z1=(z1(2(z1((cos(2(1+()+isin(2(1+(1))=(z1(3(cos3(1+isin3(1)Pasinaudoję matematinės idukcijos metodu nesunkiai įrodome šią lygybę:z1n=z1n-1=...=(z1(n(cosn(1+isinn(1)Skaičių keliant laipsniu padauginti tuo laipsniu.(cos(+isin()n= cosn(+isinn(

( x n + 1/n +1)|=a (( xn dx = x n + 1/n +1

3) ln ( x ) | = 1/x, kai x > 0

4)(ex)| = ex ( (ex dx = ex + c

5) ( ax )| = ax ln a((ax dx = ax/ln a

6)(sin x)| = cos x ( (cos x dx = sin x + c

7) (cos x)| = -sin x ( (sin x dx = - cos x + c

8) (tg x)| = 1/cos2x (( dx /cos 2x = tg x +c

12. Integravimas keičiant kintamąjį : Sakykime, kad norėdami rasti integralą , kintamąjį pakeičiame pagal formulę x=((t). Dar tarkime, kad funkcijos f(x) ir ((t) ir (’(t) yra tolydžios o funkcija x=((t) turi atvirkštinę funkciją. Tada dx=(’(t)dt. Įrodysime, kad teisinga lygybė . Įrodymas. Išdiferencijavę kairiąją lygybės pusę, gauname . Dešiniąją įrodymo lygybės pusę diferencijuojame kaip sudėtinę funkciją, kintamąjį t laikydami tarpiniu argumentu. Suintegravus reikia grįžti prie senojo kintamojo x. integruojant kartais tinka keitinys t(((x).

(4ac-b2)/4a2 > 0 arba kai trinaris ax2+bx+c neturi realiųjų šaknų; minuso priešingu atveju. Tada I1((dx/( ax2+bx+c)(

4.Mx+N/(x2+px+q)k , čia A,N,M,a,p,q – realieji skaičiai, k – natūrinis skaičius , be to, k( 2, diskriminantas D= p2- 4q < 0. Pažvelgę į diskriminantą apibūdinančią nelygybę, matome , jog lygtis x2+px+q=0 realiųjų šaknų neturi.

14) Kvadratinių dvinarių integravimas. Šio tipo reiškiniai yra arba integralinės funkcijos vardiklyje arba pošaknyje( ir skaitiklyje ir vardiklyje) 1.(

(-ln| x-((x2 –a2 )|+C(ln|1/( x-((x2 –a2 ))+ +C(ln|( x+((x2 –a2 ))/x2 -( (x2-((x2 –a2 )2)|

Teorema: Jei P(x) / Q(x) - taisyklingoji raconalioji trupmena, kurios vardiklis išskaidytas šitaip Q(x)= (x-()...(x-()n...

+ Mk-1x+Nk-1/ (x2+rx+s)k-1+...+M1+N1/ x2+rx+s; čia A,B1,...,Bn,C,D,M1,...,Mk,Nk - realieji neapibrėžti koeficientai(jie gali būti ligūs ir nuliui).

Nagrinėkime integralą(P(x)dx/Q(x).Jeigu racionalioji trupmena P(x)/Q(x) netaisyklinga,tai pirmiausia ją išreiškiame tam tikro daudianario S(x)ir taisyklingos racionaliosios trupmenos R(x)/Q(x) suma:

(P(x)dx/Q(x) = (S(x)+(R(x)dx/Q(x). Kadangi S(x) – daugianaris ,tai jį nesunku suintegruoti.Lieka tik surasti integralą (R(x)dx/Q(x). Išreiškę trupmeną R(x)/Q(x) paprasčiausių trupmenų suma, racionaliosios trupmenos interavimą pakeisime paprasčiausių trupmenų integravimu.

  • Matematika Šperos
  • 2011 m.
  • 3 puslapiai (5768 žodžiai)
  • Matematikos šperos
  • Microsoft Word 147 KB
  • Kompleksiniai skaičiai. Integralai
    9 - 2 balsai (-ų)
Kompleksiniai skaičiai. Integralai. (2011 m. Rugsėjo 06 d.). http://www.mokslobaze.lt/kompleksiniai-skaiciai-integralai.html Peržiūrėta 2016 m. Gruodžio 07 d. 12:48