Matematinės analizės pagrindinės teoremos su įrodymais


Matematikos Špera. Rymano integralas. Ap egzistavimas. Integraline suma ir jos riba - apibreztinis integralas. Niutono ir Leibnico formule. Integralo savybes. Vidutines reiksmes teorema. Kosi ir Buniakovskio nelygybe integralo ivertis. Integruojamuju ju klases. Integralas su kintanciui virsutiniu reziu , jo tolydumas , isvestine. Apibreztinio integralo integravimo metodai Kintamuju keitimo metodas. Integravimas dalimis. Netiesioginiai integralai apbendrinta pirmykste ja , neapreztos jos integralas , neapreztas integravimo rezis. Natiesioginio integralo pakankami konvergavimo pozymiai. Pakankami teigiamų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo požymiai. Tiesioginiai integralai , priklausantys nuo parametro tolydumas , diferencijavimas , integravimas. Netiesioginiai integralai , priklausantys nuo parametro tolydumas , diferencijavimas , integravimas. Oilerio integralai Γ ir – jos , kai kurios jų savybės. Taikymai. Dvilypio trilypio integralo savybės. Integralo skaičiavimas kartotiniu.


Jeigu funkcios f(x) integraline suma turi baigtine riba, tai f-ja vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b].

Teorema.F-ja f(x) atkarpoje [a;b] integruojama Rymano prasme tada ir tik tada, kai kiekviena (>0 atitinka toks skaidinys , kad S-s<(.

►.But. Tarkime , kad f-ja integruojama , t.y egzistuoja . Vadinasi, ,

Fiksuokime atkarpos [a;b] skaidini , tuomet sumos s ir S bus pastovios, o suma ( kis. Aisku , kad sumos s ir S bus sumu ( aibes tikslusis apatinis ir virsutinis rezis. Todel . Is sios nelygybes isplaukia: . Is pirmosios nelygybes ateme antraja . gauname :S-s<(. Tai ir reikejo irodyti. Pak.Tarkime , kad . Salyga teisinga; tuomet is isplaukia , kad . Ju bendra reiksme pazymesime raide I. Is turesime . Is anksciau zinome , kad . Kadangi dydziai I ir ( yra tarp s ir S, kuriu skirtumas mazesnis uz (, kai (xi pakankamai mazi, tai |I-(|<( tuo labiau , oa tai reiskia , kad . Taigi f-ja f(x) integruojama [a;b].◄

1.1.2.Integraline suma ir jos riba- apibreztinis integralas.

1 Ap. Skaicius I{xi,(i}, vadinamas f-jos f(x) integraline suma, atitinkancia segmento [a;b] duotaji skaidini T ir duotaji tarpiniu tasku (I pasirinkima segmentuose [xi-1,xi].

2.Ap.Skaicius I vadinamas integraliniu sumu I{xi,(i}, riba, kai (x(0, jei bet koki teigiama skaiciu (>0 atitinka toks teigiamas skaicius (, kad bet kuriam segmento [a;b] skaidiniu T, kurio daliniu segmentu didziausias ilgis ( mazesnis uz ( nepriklausomai nuo tasku (I pasirinkimo segmentuose [xi-1,xi] teisinga lygybe . Integraliniu sumu riba zymesime .

1.►Kadangi f-ja tolydi atkarpoje [a;b], tai ji sioje atkarpoje igyja maziausia ir didziausia reiksme m ir M, todel m(f(x) (M. Tuomet teisingos nelygybes .Padaline jas is b-a>0, gauname . Dydis yra tarp f-jos f(x) maziausios ir didziausios reiksmiu m ir M , taigi pagal teorema apie tolydzios atkarpoje f-jos tarpine reiksme jis yra f-jos f(x) tarpine reiksme, igyjama , pvz, kuriame nors taske c. Todel is cia . Reiksme f(c) vadinama vidutine f-jos f(x) reiksme atkarpoje [a;b].◄

►Kadangi f-ja f(x) tolydi atkarpoje [a;b] , tai galima pritaikyti Kantoro teoremos isvada, kad f-jos svyravimas i-tajame intervale gali buti kiek norima mazas. Todel . Tuomet ,o tai reiskia, kad f-ja f(x) integruojama.◄

2.Teorema.Monotoniska [a;b] f-ja yra integruojama Rymano prasme.

Kai (xi(0, tai aisku, kad ir S-s(0.◄

Ap. F-ja vadinama dalimis tolydziaja atkarpoje [a;b] , kai ji sioje atkarpoje turi bagtini kieki pirmojo tipo trukio tasku.

3. Teorema. Dalimis tolydi atkarpoje [a;b] f-ja yra integruojama Rymano prasme.

►Kintamajam x suteikime pokyti (x ir apskaiciuokime pokyti ((:

Si lygybe reiskia, kad f-ja ((x) yra f-jos f(x) pirmykste atkarpoje [a;b]. Is to gauname isvada: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] f-ja f(x) turi pirmykste f-ja .

1.Teorema.Tarkime, kad integrale kintamasisi x pakeistas pagal formule x=((t). Jeigu 1) f(x) tolydi atkarpoje [a;b], 2) ((t) ir (’(t) tolydzios atkarpoje [(;(],

►Sakykime, kad F(x)-f-jos f(x) pirmykste atkarpoje [a;b] Tuomet , pasinaudoje Niutono ir Leibnico formule, gauname:

► Pirmajame integrale pakeisime kintamaji x=-t, dx=-dt. Kai x=-a, tai is x=-t gauname t=a, o kai x=0, tai is tos pacios nelygybes turime t=0, todel . Tuomet

f(-x)=-f(x) ir f(-x)+f(x)=0. Is to ir isplaukia reikiama lygybe. ◄

Teorema. Sakykime , kad u(x) ir v(x) –diferencijuojamos atkarpoje [a;b] f-jos . Tuomet . ►Panaudoje lygybe d(uv)=udv+vdu bei Niutono ir Leibnico formule, gauname: .

1.1.7. Netiesioginiai integralai; apbendrinta pirmykste f-ja, neapreztos f-jos integralas, neapreztas integravimo rezis.

1Ap.Jeigu egzistuoja integralo baigtine riba , kai b(+(, tai ji vadinama f-jos f( x) netiesioginiu integralu intervle [a; +(), arba pirmojo tipo netiesioginiu integralu, ir zymima simboliu

Ap. F-ja F(x) vadinama apibendrinta pirmykšte f-ja x, jei toje atkarpoje f-ja:

Jei integralas nuo f-jos modulio konverguoja, tuomet sakome kad f-jos integralas konverguoja absoliučiai.

Teorema: Jei integralas konverguoja absoliučiai, tai jisai konverguoja.

Tarkim, kad galioja nelygybė 0≤f(x)≤g(x) x[a;b), tada jei egzistuoja riba, tuomet konverguoja arba diverguoja vienu metu.

jei f-ja f yra tolydžioji f-ja ir jos dalinė išvestinėy atžvilgiu taip pat tolydžioji f-ja ir konverguoja tolygiai, tuomet

1.1.11Oilerio integralai: Γ(p) ir B(p,q) – f-jos, kai kurios jų savybės. Taikymai

  • Matematika Šperos
  • 2015 m.
  • Lietuvių
  • 4 puslapiai (1250 žodžių)
  • Matematikos šperos
  • Microsoft Word 102 KB
  • Matematinės analizės pagrindinės teoremos su įrodymais
    10 - 2 balsai (-ų)
Matematinės analizės pagrindinės teoremos su įrodymais. (2015 m. Gegužės 08 d.). http://www.mokslobaze.lt/matematines-analizes-pagrindines-teoremos-su-irodymais.html Peržiūrėta 2016 m. Gruodžio 08 d. 20:16