Racionaliųjų funkcijų metodas Pade aproksimacija


Matematikos kursinis darbas.

Racionaliųjų funkcijų metodas Pade aproksimacija.


nustatyti, kiek eilutės narių reikia sudėti, kad būtų apskaičiuota funkcijos reikšmė norimu tikslumu;

Ši eilutė konverguoja intervale (-1; 1). Jos sumą galime užrašyti taip:

Jomis pasinaudoję visas argumento reikšmes galime suvesti į intervalą nuo 0 iki 1

Pastebime,kad intervale (0;0,8) koeficientu skaičius auga lėtai, tačiau nuo 0,8 iki 1 šis augimas sparčiai pradeda didėti ir ties x = 1 labai greitai pasiekia begalybę. Taigi, pritaikę dar kartą redukcijos formulę tai yra. visas x reikšmes galėsime sutraukt i intervalą . Ir daugiausiai laipsninės eilutės koeficientų reikės kai x =,t.y. 40 yra maksimalus reikalingų eilutės koeficientų skaičius.

Praktikoje dažnai reikia žinoti daugelį funkcijos reikšmių. Jeigu funkcijos analizinė išraiška elementari, tai jos reikšmes nesunkiai apskaičiuojame. Tačiau daugumos funkcijų (y = sin(x),

Taikant kokią nors elementariųjų funkcijų aproksimaciją, labai svarbu yra įvertinti metodo tikslumą ir jo vykdymo trukmę. Vienas iš būdų, leidžiančių padidinti tikslumą ir sutrumpinti vykdymo trukmę, - elementariųjų funkcijų aproksimacijai naudoti racionaliąsias funkcijas, kurios yra dviejų polinomų santykis. Dažnai racionaliosios funkcijos radimas yra sunkus uždavinys. Funkcijai cos(x) taikysime vieną iš racionaliųjų funkcijų metodų Padė aproksimaciją.

Turėdami kosinuso Makloreno eilutę (=Teiloro eilutė), ją galime išreikšti racionaliąja trupmena. Šio metodo idėja ir yra laipsninės eilutės išreiškimas racionaliąja trupmena, kuri leidžia sumažinti skaičiavimų kiekį bei duoda tikslų rezultatą.

Iš /4/ formulės išplaukia tiesinės lygtys, siejančios žinomus koeficientus ci (0

Kaip matyti iš šių formulių, k-tosios lygties sandaugų bicj indeksų suma i+j lygi k. Nesunku taip pat pastebėti, kad tiek nežinomųjų, tiek lygčių skaičius yra n+m+1.Šią lygčių sistemą spresiu tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodu - Gauso metodu.

Dalybos rezultatas yra apytiksliai nulis, kai skaitiklis apytiksliai lygus nuliui, todėl

- atmetame ir taikome, kad reiškinys yra tiksliai lygus nuliui

Taigi gauname kad N+1 lygčių ir n+1 nežinomųjų, Tada taikome

Beto rezultato paklaida, atsirandanti dėl to, kad veiksmai atliekami apytiksliai(taip yra skaičiuojant kompiuteriu), esti mažesni nei skaičiuojant tiesiogiai, jei koeficientai prie aukštesniųjų x laipsnių yra mažesni negu prie žemesniųjų laipsnių.

matome, jog laipsninės eilutės koeficiento skaičiavimui reikalinga tik viena dalybos operacija. Aprašome funkciją , skaičiuojančią laipsninės eilutės koeficientus. Jos argumentas bus generuojamų koeficientų skaičius, o rezultatas - vektorius iš koeficientų .

Arktangento laipsninė eilutė konverguoja tik kai argumento modulis yra mažesnis už vienetą , tačiau arktangento funkcija yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Susiduriame su argumento redukavimo problema. Čia mums padės iš literatūros žinoma formulė ir arctg(x) nelygumo savybė. Pastebėsime, kad teigiamiems x:

Vadinasi, nors šaknies traukimas yra brangi operacija, tačiau ji už tikrintai sutraukia argumentą į laipsninės eilutės konvergavimo intervalą . Panagrinėkime, kiek laipsninės eilutės narių gali daugiausiai prireikti skaičiuojant arktangento reikšmes intervale nuo 0 iki 1. Reikšmę laikysime apskaičiuota tada, kai pridėjus eilinį nenulinį laipsninė s eilutė s narį suma nebesikeis. Apibrėšime funkciją N(x), kurios atsakymas bus reikalingas laipsninė s eilutės koeficientų skaičius taške x.

Nubraižę grafiką pastebime, kad intervale nuo 0 iki 0.8 koeficientų skaičius auga lėtai, intervale nuo 0.8 iki 1 š is augimas staiga katastrofiškai padidėja ir sparčiai pasiekia begalybę ties x = 0. Vadinasi, mūsų netenkina x sutraukimas į intervalą nuo 0 iki 1, reikia x suspausti į dar mažesnį intervalą . Pastebėsime, kad

Vadinasi, kiekvieną kartą pritaikius arktangento redukciją , argumentas yra sumažinamas bent du kartus. Taigi, x reikšmėms, artimoms vienetui, mes galima pritaikyti redukciją dar kartą ir gauti argumentą iš žymiai mažesnio intervalo. Konkrečiai:

Šitaip visos x reikšmės pateks į intervalą nuo 0 iki 0.414. Kadangi N(x) priklausomybė monotoniškai didėja, daugiausiai laipsninės eilutės koeficientų reikės, kai x = 0.414.

Optimizuokime laipsninės eilutės skaičiavimo algoritmą , kad jis užimtų kuo mažiau daugybos ir dalybos veiksmų , ir pridėkime argumento redukcijos veiksmus tam, kad apibrėžtume galutinę arktangento skaičiavimo funkciją . Taip pat apsirašome funkciją , kuri skaičiuoja metodo paklaidą , kuri yra ne didesnė už pirmą jį atmetamą laipsninės eilutės narį .

  • Matematika Kursiniai darbai
  • 2016 m.
  • Lietuvių
  • Jurgita
  • 21 puslapis (2137 žodžiai)
  • Universitetas
  • Matematikos kursiniai darbai
  • Microsoft Word 1184 KB
  • Racionaliųjų funkcijų metodas Pade aproksimacija
    10 - 1 balsai (-ų)
Racionaliųjų funkcijų metodas Pade aproksimacija. (2016 m. Gruodžio 08 d.). http://www.mokslobaze.lt/racionaliuju-funkciju-metodas-pade-aproksimacija.html Peržiūrėta 2017 m. Kovo 30 d. 09:55