Tiesinė algebra.


Lokalieji ekstremumai. Pilnasis diferencialas. Salyginiai ekstremumai. Keliu kintamuju funkcijos paruostuke. Lokaliuju ekstremumu skaiciavimas. Keliu kintamuju f-jos ekstremumai. Tiesine algebra sperra. Kas yra lokalieji ekstremumai. Pilnasis funkcijos pokytis. Uždavinių sprendimai ekstremumai.

Matematikos Špera.

Kelių kintamųjų f-jos sąvoka ir geo. Vaizdavimas. Dalinės išvestinės, jų geometrinė prasmė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės ir diferencialai. Pilnasis f-jos pokytis. Sukimosi paviršiai. Elipsoidai. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė. Hiperboloidai. Pilnasis diferencialas. Elipsiniai paraboloidai. Kūgiai. Cilindriniai paviršiai. Teorema (būtina f-jos diferncijuojamumo sąlyga). Kryptinė išvestinė. Kelių kintamųjų f-jos riba ir tolydumas. Sudėtinių f-jų diferencijavimas. Gradientas. Kelių kintamųjų funkcijos lokalieji ekstremumai. Sąlyginiai ekstremumai. Mažiausių kvadratų metodas.


Kirsdami sukimosi elipsoidą plokštuma x ( h ((h(

Tarkime, kad plokštumoje xOz duota hiperbolė x2/a2-z2/c2(1, kurios realioji ašis yra Ox, o menamoji - Oz ašis. Sukdami šią hiperbolę apie Oz ašį, gauname vienašakį sukimosi hiperboloidą. Jo lygtis (x2+y2)/a2-z2/c2(1, arba x2/a2+y2/a2-z2/c2(1.Paviršių, kurio lygtis x2/a2+y2/b2-z2/c2(1, vadinsime vienašakiu hiperboloidu. Kirsdami paviršių plokštumomis, statmenomis Oz ašiai, pjūviuose gautume elipses. Sukdami duotąją hiperbolę apie Ox ašį, gauname dvišakį sukimosi hiperboloidą. Jo lygtis yra x2/a2-(y2+z2)/c2(1, arba x2/a2-y2/c2-z2/c2(1. Šis paviršius visiškai skirtingas nuo vienašakio sukimosi hiperboloido. Paviršių, kurio lygtis x2/a2-y2/b2-z2/c2(1, vadinsime dvišakiu hiperboloidu.

Sukdami parabolė x2(2pz, apie Oz ašį, gauname sukimosi paraboloidą. Jo lygtis x2+y2(2pz. Paviršius, apibrėžiamas lygtimi, x2/2p+y2/2q(z, p>0, q>0, arba p<0, q<0, vadinamas elipsiniu paraboloidu.

Tiesė x/a(z/c (a(0, c(0), sukama apie Oz ašį, nubrėžia sukimosi kūgį. Jo lygtis ((x2+y2)/a ( z/c,arba x2/a2+y2/a2(z2/c2. Paviršius, apibrėžiamas lygtimi x2/a2+y2/b2(z2/c2, arba x2/a2+y2/b2-z2/c2(0, vadinamas elipsiniu kūgiu.

Cilindriniais paviršiais vadinami paviršiai, kuriuos nubrėžia tiesė, judėdama lygiagrečiai pasirinktai tiesei ir ir kirsdama duotąją kreivę l. Ši kreivė l vadinama vedamąja, o judančios tiesės atskiros padėtys - sudaromosiomis. Tarkime, kad cilindrinio paviršiaus vedamoji kreivė yra plokštumos xOy kreivė, kurios lygtis F(x,y)(0, o sudaromosios lygiagrečios Oz ašiai. Pasirenkame kintamąjį cilindrinio paviršiaus tašką M(x;y;z). Taškas N(x;y;0) yra kreivėje l, todėl jo koordinatės tinka lygčiai, nes abu taškai yra vienoje tiesėje, kuri lygiagreti Oz ašiai. Vadinasi lygtis F(x,y)(0 erdvėje apibrėžia cilindrinį paviršių, kurio sudaromosios lygiagrečios Oz ašiai. Analogiškai galima įsitikinti, kad lygtys F(x,y)(0 ir F(y,z)(0 nusako cilindrinius paviršius, kurių sudaromosios lygiagrečios atitinkamai Oy ir Ox ašims. Darome išvadą: lygtis su dviem kintamaisiais apibūdina cilindrinį paviršių, kurio sudaromosios yra lygiagrečios tai koordinačių ašiai, kokio kintamojo nėra. Jei vedamosios yra antros eilės kreivės elipsė x2/a2+y2/b2 ( 1, parabolė y2(2px ir hiperbolė x2/a2-z2/c2(1, gausime antros eilės cilindrinius paviršius: elipsinį cilindrą, parabolinį ir hiperbolinį cilindrą.

Kelių kintamųjų f-jos ribą galima apibrėžti panašiai kaip ir vieno kintamojo f-jai. Tarkime, kad f-ja z(f(x,y) yra apibržta taško M0(x0;y0) aplinkoje, išskyrus patį tašką M0.

Rašome lim(M(M0)(f(x,y))(b, arba lim ((x;y)((x0;y0))(f(x,y))(b.

Teorema. Jei lim(M(M0)(f(M))(b1, lim(M(M0)(g(M))(b2, (b1,b2 - baigtiniai skaičiai), tai

Pastebėsime, kad f-ja f(M), kuri taške M0 turi baigtinę ribą to taško aplinkoje yra apibrėžtoji f-ja.

2 ap. Jei f-ja z(f(x,y) yra apibrėžta taške M0(x0;y0 ir jos riba taške M0 lygi f-jos reikšmei tame taške, t.y. lim(M(M0)(f(x,y))(f(x0,y0), tai f-ja z(f(x,y) vadinama tolydžiąja taške M0(x0;y0).

Skirtumus x-x0((x ir y-y0((y vadinsime atitinkamai argumentų pokyčiais, o skirtumą z(f(x,y)-f(x0,y0) - pilnuoju f-jos pokyčiu. Lygybė lim(M(M0)(f(x,y))(f(x0,y0) yra ekvivalenti lygybei lim (x(x0)(y(y0)(f(x,y)-f(x0,y0))(0, arba lim ((x(0 (y(0)(z(0.

Iš šios lygybės išplaukia, kad f-ja tolydi taške M0, kai nykstamus argumentų pokyčius atitinka nykstamas f-jos pokytis. Kelių kintamųjų tolydžiųjų f-jų savybės yra analogiškos vieno kintamojo tolydžiųjų f-jų savybėmis.

  • Matematika Šperos
  • 2010 m.
  • Lietuvių
  • 2 puslapiai (2935 žodžiai)
  • Matematikos šperos
  • Microsoft Word 21 KB
  • Tiesinė algebra.
    8 - 2 balsai (-ų)
Tiesinė algebra.. (2010 m. Kovo 03 d.). http://www.mokslobaze.lt/tiesine-algebra.html Peržiūrėta 2016 m. Gruodžio 06 d. 14:21