Algebrinės struktūros

(2) jeigu laikysime, kad koeficientai akl yra duoti b1, b2,, bn – žinomi, o a1, a2,, ar nežinomiekji kuriuos reikia surasti. Prisiminsime, kad (2) ligčių sistemos nežinomuosius a1, a2,, ar, galime surasti su bet kuriais duotaisiais b1, b2,, bn, jeigu matricos a:=ēēaklēē, rangas yra lygus n ir, be to, jo eilučių ir stulpelių skaičius sutampa, Y r=n. Tada sprendinys (c) bus vienintelis. Taigi, bet kurį vektorių bĪvn galime išreiksšti vieninteliu būdu vektoriais a1, a2,,an , jeigu vektorių aibę {a1, a2,,an} atitinkanti matrica a yts neišsigimusi, Ranga=n arba tolydu det a¹.

Tegul at yra nransponuota matrica a, Tada(2) lygčių sistemą galima užrašyti ir tokiu matriciniu būdu.

Jeigu n=r, tai deta=detat. Tegu ranga=n, tada egzistuoja atvirkštinės matricos a-1 ir (at)-1, tenkinančios sąryšį (a-1)t=(at)-1 ir, be to ||a1 a2 an||=||b1 b2 bn||a-1 (4).

6 apibrėžimas. Tarkime, kad vektorių aibė fa={a1, a2, , an}, su kuria susietos matricos ranga=n. Tada fa vadinama bazinių vektorių aibe (arba tiesiog baze). Tokiu atveju ją žymėsime ba, Ba:=fa. Jeigu fa =ba, tada bet kokio vektoriaus bĪvnišraiškoje vienintelius koeficientus aj,j=1,n, surašytus į eilutę (a1 a2 an) vadiname vektoriaus b koordinatėmis bazės ba atžvilgiu ir žymėsime taip:b:=(a1 a2 an)a pastebėsime, kad bet kokį vektorių bĪvn su komponentėmis b:=(b1 b2 bn) galime laikyti nusakytu bazėje be:=(e1 e2 en), kai e1:=(1,0,,0), e2:=(0,1,,0), , en:=(0,0,,1),

Arba b=(b1,b2, , bn)e. Sutarsim, jeigu nenurodyta kitaip, bet kurio vektoriaus b=(b1,b2, , bn) komponentės bj, j=1,n laikyti koordinatėmis bazėje be. Be to, su baze be susieta matrica e yrapastebėsime, kad susiejant su kokia nors vektorių aibe fa matricą a, būtų galima prie matricos a prirašyti indeksą, nurodant kokioje bazėje vektoriai iš aibės fa yra nusakyti. Tačiau, vengdami pateikiamų sąryšių perkrovimo indeksais, toarba, kitaip tariant, vektorinės tiesinės erdvės

7 apibrėžimas. Matricą pab(taip pat ir pabt) vadin tarkime, duota vektorių aibė fa sudaryta iš r vektorių. Iš jos vektorių komponenčių sudarome matricą a (laikydami, kad ak =(a k1 +a k2 ,,a kn ) e ), ir paėmę kokį nors vektorių bĪv n (su b=(b1 ,b2 ,,bn ) e) sudarome lygčių sistemą.