Diferencialinės lygtys skaidrės

Diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Apibrėžimas. Pirmos eilės diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais. Apibrėžimas. Pirmos eilės homogeninės diferencialinės lygtys. Apibrėžimas. Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygtys. Apibrėžimas. Antros eilės diferencialinės lygtys. Apibrėžimas. Antrosios eilės diferencialinių lygčių atskiri atvejai.

Pirmosios eilės diferencialinės lygties bendrasis pavidalas yra F(x, y, y') = 0 arba y' = f(x, y), arba P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Čia f(x, y), P(x, y), Q(x, y) yra plokštumos xOy srityje D apibrėžtos ir tolydžios funkcijos.

Sprendinys, kuris negaunamas iš bendrojo sprendinio su konkrečia konstantos C reikšme, vadinamas ypatinguoju sprendiniu.

Pirmos eilės diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais.

Funkcija F(x, y) vadinama k tojo laipsnio (matavimo) homogenine funkcija, jei F(tx, ty) = =tkF(x, y).

Diferencialinė lygtis P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 vadinama pirmosios eilės homogenine diferencialine lygtimi, jeigu funkcijos P(x, y) ir Q(x,y) yra vienodo laipsnio homogeninės funkcijos. Lygties atpažinimas. Jeigu, į pirmosios eilės diferencialinę lygtį vietoj x įrašius tx, o vietoj y įrašius ty ir sutvarkius (suprastinus), lygtis nepasikeičia (išnyksta t), tai ji yra homogeninė.

Antrosios eilės diferencialinės lygties sprendiniu srityje D vadinama apibrėžta ir du kartus diferencijuojama toje srityje funkcija y = y(x), jei ją ir jos išvestines y‘ ir y‘‘ įrašius į lygtį, gaunama tapatybė. Dažnai ieškomas toks sprendinys, kuris tenkintų tam tikras pradines sąlygas. Uždavinys F(x, y, y‘, y‘‘) = 0 su pradinėm sąlygom y(x0)= y0; y‘(x0) = y‘(x0) vadinamas Koši uždaviniu antrosios eilės diferencialinei lygčiai.

Antrosios eilės diferencialinės lygties F(x, y, y‘, y‘‘)= = 0 bendruoju sprendiniu srityje D vadinama funkcija y = (x, C1;C2), tenkinanti sąlygas: Lygčių sistema Konstantų C1 ir C2 atžvilgiu srityje D turi vienintelį sprendinį.